メモ帳

数学、LaTeXなど

定義関数の可測性

解析学 ルベーグ積分

(\Omega, \mathcal F) を可測空間、 A を \Omega の部分集合とする。 このとき 1_A を A 上の定義関数という。 具体的には

\begin{gather} 1_A(\omega)= \begin{cases} 1 & \omega\in A \\ 0 & \text{その他} \end{cases} \end{gather}

と表される。 この関数が可測関数であることを示す。

X:\Omega\to\overline{\mathbb R} が可測関数であることの定義は、任意の実数 a に対し

\begin{gather} X^{-1}((a, \infty]) := \{\omega\in\Omega: X(\omega)\gt a\} \in\mathcal F \tag{1} \label{ksk} \end{gather}

を満たすことである。 1_A^{-1}((a, \infty]) を a の値で場合分けし、そのすべてが \mathcal F に属すことを示す。

\begin{gather} \{\omega\in\Omega: 1_A(\omega)\gt a\}= \begin{cases} \Omega & a\lt 0 \\ A & 0\le a\lt 1 \\ \emptyset & a\ge 1. \end{cases} \end{gather}

\Omega, A, \emptyset\in\mathcal F より \eqref{ksk} は成立。 ゆえに、定義関数 1_A は可測関数である。

新規のstyファイルを導入する

LaTeX 備忘録
  1. CTANから所望のパッケージをインストール（Chromeからだとうまくインストールできないことがある）
  2. 解凍したフォルダをC:\texlive\texmf-local\tex\latex\localに追加
  3. コマンドプロンプトでmktexlsrを実行（一覧表の更新）

自作のstyファイルを導入したい場合は手順2.から行えばよい。

（LaTeX）証明終了記号を変更するには

LaTeX 備忘録

今回は\amsthmパッケージを使用した。

デフォルトでは、proof環境の証明終了記号は□であるが

\renewcommand{\qedsymbol}{何らかの記号}

 とプリアンブルに記述することで、好きな記号に変更することができる*1。

例えば

\renewcommand{\qedsymbol}{\bf{卍}}

と記述すると、出力結果は以下のようになる：

f:id:amazon_river:20210119234745j:plain

*1:墓石記号とも呼ばれ、\qedで出力できる。