ディリクレ積分（sinx/x の積分）を複素積分を使わずに解く
1. ディリクレ積分とは
\begin{gather} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx \end{gather}
のことで、この積分は となることが知られている。
この証明にはよく複素積分が使われるが、今回は複素積分を使わずに示す。
2. 証明
積分の順序交換を認めてしまおう
この積分を行うためにはフビニの定理を用いた積分の順序交換が必要となるが、ひとまず積分の順序交換ができると仮定して
\begin{gather} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx ＝ \frac{\pi}{2} \tag{*}\label{eq:diri} \end{gather}
が成り立つことを確かめよう。
まず適当な をとる。
\begin{gather} \frac{1}{x} = \int_{0}^{\infty}e^{-xy}dy \end{gather}
より、両辺に をかけ、
で
から
まで積分すると
\begin{gather} \int_0^{R}\frac{\sin x}{x}dx = \int_0^{R}dx \int_0^\infty e^{-xy}\sin xdy. \tag{1}\label{eq:1} \end{gather}
ここで積分の順序交換を行うと、右辺は
\begin{gather} \int_0^\infty dy \int_0^{R} e^{-xy}\sin xdx \tag{2}\label{eq:2} \end{gather}
となる。
は部分積分を行うと
となることがわかるので、\eqref{eq:1}\eqref{eq:2} より
\begin{align} \int_0^{R}\frac{\sin x}{x}dx &= \int_0^\infty\frac{1}{1+y^{2}}dy -\int_0^\infty\frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy \\ &= \frac{\pi}{2} -\int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy \tag{3}\label{eq:3} \end{align}
となることがわかる。
右辺の第2項について考える。
はシュワルツの不等式により
と評価できるので
\begin{align} \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy &\le \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}\sqrt{1+y^{2}}dy \\ &= \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{\sqrt{1+y^{2}}}dy \\ &\le \int_0^\infty e^{-Ry}dy = \frac{1}{R}\to0 \quad(R\to\infty). \end{align}
これと \eqref{eq:3} を合わせて考えると \eqref{eq:diri} が示せる。
順序交換は本当にできるか？
フビニの定理が使える条件は
の2つであった。
は非負関数ではないので、可積分関数であることを示せばよい。
(
) より
\begin{align} \int_0^{R}dx \int_0^\infty |e^{-xy}\sin x|dy &\le \int_0^{R}dx \int_0^\infty xe^{-xy}dy \\ &= \int_0^ R 1dx = R < \infty. \end{align}
よって、フビニの定理が適用できるため、積分の順序交換が可能となる。
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# 3. 強調（斜体字、太字） 例: *斜体字*、**太字**
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# 4. 打消し 例: ~~打消し~~
5. 表
| 名前 | 点数 | 成績 |
|---|---|---|
| 伊藤 | 76 | B |
| 佐藤 | 65 | C |
| 鈴木 | 95 | S |
# 5. 表 | 名前 | 点数 | 成績 | | :-- | :--: | :--: | | 伊藤 | 76 | B | | 佐藤 | 65 | C | | 鈴木 | 95 | S |
6. 画像
# 6. 画像 
7. リンク
# 7. リンク [メモ帳](https://amazon-river.hatenablog.com/)
8. 注釈
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# 8. 注釈 なんらかの文[^1]。 [^1]: ここに注釈を書く。
-
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リンクが光ったりはしないいろいろあって無事光るようになった。ethm.sty: 英語版の定理環境。
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