1. ディリクレ積分とは

ディリクレ積分とは、広義積分

\begin{gather} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx \end{gather}

のことで、この積分は $\dfrac{\pi}{2}$ となることが知られている。この証明にはよく複素積分が使われるが、今回は複素積分を使わずに示す。

2. 証明

積分の順序交換を認めてしまおう

この積分を行うためにはフビニの定理を用いた積分の順序交換が必要となるが、ひとまず積分の順序交換ができると仮定して

\begin{gather} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx ＝ \frac{\pi}{2} \tag{*}\label{eq:diri} \end{gather}

が成り立つことを確かめよう。

まず適当な $R\gt 0$ をとる。

\begin{gather} \frac{1}{x} = \int_{0}^{\infty}e^{-xy}dy \end{gather}

より、両辺に $\sin x$ をかけ、 $x$ で $0$ から $R$ まで積分すると

\begin{gather} \int_0^{R}\frac{\sin x}{x}dx = \int_0^{R}dx \int_0^\infty e^{-xy}\sin xdy. \tag{1}\label{eq:1} \end{gather}

ここで積分の順序交換を行うと、右辺は

\begin{gather} \int_0^\infty dy \int_0^{R} e^{-xy}\sin xdx \tag{2}\label{eq:2} \end{gather}

となる。 $\displaystyle\int_0^{R} e^{-xy}\sin xdx$ は部分積分を行うと $\dfrac{1}{1+y^{2}} (1-e^{-Ry}(\cos R+y\sin R))$ となることがわかるので、\eqref{eq:1}\eqref{eq:2} より

\begin{align} \int_0^{R}\frac{\sin x}{x}dx &= \int_0^\infty\frac{1}{1+y^{2}}dy -\int_0^\infty\frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy \\ &= \frac{\pi}{2} -\int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy \tag{3}\label{eq:3} \end{align}

となることがわかる。

右辺の第2項について考える。 $\cos R+y\sin R$ はシュワルツの不等式により $\cos R+y\sin R\le\sqrt{1+y^{2}}$ と評価できるので

\begin{align} \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}(\cos R+y\sin R)dy &\le \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{1+y^{2}}\sqrt{1+y^{2}}dy \\ &= \int_0^\infty \frac{e^{-Ry}}{\sqrt{1+y^{2}}}dy \\ &\le \int_0^\infty e^{-Ry}dy = \frac{1}{R}\to0 \quad(R\to\infty). \end{align}

これと \eqref{eq:3} を合わせて考えると \eqref{eq:diri} が示せる。