定義関数の可測性

を可測空間、 を の部分集合とする。 このとき を 上の定義関数という。 具体的には

\begin{gather} 1_A(\omega)= \begin{cases} 1 & \omega\in A \\ 0 & \text{その他} \end{cases} \end{gather}

と表される。 この関数が可測関数であることを示す。

が可測関数であることの定義は、任意の実数 に対し

\begin{gather} X^{-1}((a, \infty]) := \{\omega\in\Omega: X(\omega)\gt a\} \in\mathcal F \tag{1} \label{ksk} \end{gather}

を満たすことである。 を の値で場合分けし、そのすべてが に属すことを示す。

\begin{gather} \{\omega\in\Omega: 1_A(\omega)\gt a\}= \begin{cases} \Omega & a\lt 0 \\ A & 0\le a\lt 1 \\ \emptyset & a\ge 1. \end{cases} \end{gather}

より \eqref{ksk} は成立。 ゆえに、定義関数 は可測関数である。